Занимательная математика

 Числа расскажут о себе!

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение В физике, механике, астрономии, химии и многих других науках. Числами постоянно пользуются в повседневной жизни.

В школьном курсе мы будем постепенно знакомиться со всеми числами, в том числе с натуральными, действительными, рациональными и иррацинальными. Но в данной работе мы будем говорить о мало знакомых нам числам, а именно совершенных, дружественных и фигурных числах.

Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

Сами пифагорейцы высоко ценили результаты, полученные ими в теории гармонии, ибо они подтверждали их идею, что числа определяют все. Число для пифагорейцев – это собрание единиц (только целое положительное число). Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые располагались в виде правильных геометрических тел. При этом получали ряды «треугольных», «квадратных», «пятиугольных» и других «фигурных» чисел. Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д.

Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных деталей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так, совершенными числами являются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14.

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует.

Пара натуральных чисел называется дружественной, если каждое из них равно сумме всех собственных делителей другого. Например, дружественную пару образует числа 220 и 284, так число 220 имеет делители 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 и 110, а число 284 – делители 1,2,4,71,142 и выполняются следующие равенства:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220

Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо

из двух нечетных. До сих пор не обнаружено дружественной смешанной пары, но вместе с тем и не доказано, что такой пары не существует. Неизвестно также, конечно или бесконечно число дружественных пар.

Приведём краткие сведения из интересной истории совершенных чисел и дружественных пар чисел.

Первых прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Этому числу уделяли много внимания математике, философы, богословы. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней; ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, так как оно первое из них, Следующим совершенным числом, известным древним грекам до Евклида, было число 28. Евклид сделал первый важный шаг в построение теории совершенных чисел. Он доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2p-1 и 2p-1, где 2p-1 простое число, является совершенным числом. Отметим, что для этого необходимо, чтобы p было простым, хотя далеко не для всякого простого числа p число 2p-1 также является простым.

В течение почти двух тысяч лет люди знали только четыре совершенных числа. Неизвестно было, существуют ли другие совершенные числа, которые можно представить в виде 2, и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие этой формуле. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной привели к признанию божественности этих удивительных чисел. Церковь учила, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа; тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но даже надежда на такую награду не смогла помочь математикам средневековья. Лишь в ХV в. было обнаружено пятое совершенное число. Им оказалось число 33550336, его можно получить по формуле Евклида при p = 13.

Через двести лет усиленными поисками новых совершенных чисел занялся французский физик, математик и богослов Марен Мерсенн. Он утверждал, что следующие шесть совершенных чисел должны иметь евклидовскую форму со значениями p, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Долгое время оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет. Оказалось, что не все утверждения Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значения p = 17, p = 19, p = 31, p = 127. Числа, полученные по формуле Евклида 2 при p = 67 и при p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Мерсенн «пропустил» совершенные числа со значениями p = 61, p = 89, p = 107. Всё это было обнаружено позже.

Л. Эйлер сумел найти новую теорему о таинственных и загадочных совершенных числах: все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Вопрос о том, существуют ли нечётные совершенные числа и каков их вид, остаётся открытым до нашего времени.

Совершенные числа обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Все эти числа являются «треугольными» (о таких  числах говорилось  выше). Каждое совершенное  число есть сумма вида 1 + 2 + 3 + … + n. Далее, любое совершенное число, кроме 6, есть частичная сумма ряда из кубов нечётных чисел, т. е. равно 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) . Сумма обратных значений всех делителей  совершенного числа, включая и само число, всегда равна 2. Например, для числа 28 имеем: 

Дружественные пары чисел являются обобщением совершенных чисел. Наименьшая дружественная пара чисел 220 и 284 была известна древним грекам. В 1636г. Пьер Ферма указал новую дружественную пару чисел: 17296 и 18146. Рене Декарт нашёл третью дружественную пару чисел: 9363584 и 9437056. Ферма и Декарт независимо друг от друга установили правило образования дружественных пар чисел. Леонард Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар. Позже было обнаружено, что в двух случаях он ошибся. В 1830г. Лежандр нашёл ещё одну дружественную  пару чисел. В 1867г. шестнадцатилетний итальянец Б. И. Паганини удивил математический мир своим сообщением о том, что числа 1184 и 1210 образуют дружественную пару. Это вторая по величине дружественная пара, однако её не заметили учёные, интересовавшиеся данным вопросом.

В настоящее время известно более 600 дружественных пар чисел, большинство из них найдено с помощью ЭВМ. Многие числа дружественных пар состоят более чем из 30 цифр.

Приведём некоторые примеры дружественных пар чисел: 2620 и  2924, 5020 и 5564, 6232 и 6363, 10744 и 10856, 12 285 и 14 595, 63020 и 76 084, 66928 и 66992, 67095 и 71145, 69615 и 87633. 

Существуют еще числа близнецы. Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел-близнецов.

Мистические свойства некоторых чисел.

Магические свойства чисел волновали людей еще в глубокой древности. Хотим мы этого или нет, но где-то глубоко в нас сидит какая-то симпатия к одним числам и осторожность , а порой и совсем неприятные чувства к другим. Особым почитанием окружены были числа в Древней Греции. Философ и математик Пифагор утверждал, что «числа правят миром». Он создал школу единомышленников, которые верили в магию чисел и думали, что за каждым предметом стоит какое-то число. Числа, считали они, несут с собой добро и зло, счастье и несчастье.

Число 0. Это символ абсолюта, бесконечности и является числом непроявленного мира. Это начало всех вещей, это сон или смерть. Графически изображается как кольцо или круг.

Единица. Пифагор и его единомышленники ставили единицу выше всех других чисел, считая, что именно она – начало всех начал, что именно от нее пошел весь мир. Без единицы не состоялось бы самое простое счисление. Графически изображается как вертикальная линия.

Двойка. Это число является символом любви, непостоянства и равновесия. Число 2 – это мягкость и тактичность, стремление сгладить острые углы. Оно находится между добром и злом, теплом и холодом, светом и мраком, богатством и нищетой.

Тройка. У многих народов весьма продолжительное время пределом счета было число 3. Его считали символом полноты, совершенства. Так, у древних греков это число считалось счастливым, а в Древнем Вавилоне стали поклоняться трем божествам: Солнцу, Луне и Венере. Число три стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках. Еще его магия заключалась в том, что оно складывалось из суммы предыдущих чисел (3=1+2), символизировалось треугольником, который представляет прошлое, настоящее и будущее.

Четвёрка. Древние считали это число символом устойчивости и прочности. Ведь оно представлено квадратом, четыре стороны которого означают четыре стороны света, четыре времени года, четыре стихии- Огонь, Земля, Воздух и Воду.

Геометрическая правильность: квадрат или ромб; в славянской символике - символ Земли.

Тоже очень знаменательное число, как и три.

В японо-китайском мире 4-роковое число.

        Числу 5 Пифагор отводил особое место, считая его самым счастливым из всех чисел. Древние же считали число «пять» символом риска, приписывали ему непредсказуемость, энергичность и независимость.

Числовая правильность: 5-простое число; 5 пальцев - пятеричная система счисление; 5- конечная звезда; 5 чувств ( зрение, слух, обоняние, осязание, равновесие). 5 главных признаков в православие: Обрезание Господне, Рождество Иоанна, Праздник святых Петра и Павла, Усекновение главы Иоанна-Крестителя, Покров пресвятой Богородицы. 5 заветов буддизма; мусульманин молится 5 раз в день.

        Число 6. Неужели и о нём можно что-то порассказать? Конечно. Пифагор считал его удивительным числом, так как оно обладает замечательным свойством: получается в результате сложения или перемножения всех чисел, на которые делится. Шестёрка делится на 1, 2, 3 и если сложить или перемножить эти числа, то вновь получиться 6 (1 + 2 + 3 = 1 х 2 х 3 = 6). Таким свойством не обладает ни одно другое число.

6 - «число творения», Бог создал мир за 6 дней.

Геометрическая правильность: правильная, плоская, выпуклая фигура – правильный 6 - угольник.

        В славянской символике – символ солнца.

        Числовая правильность: 6 – совершенное число.

        6 – число предметов в чайных и столовых сервизах.

        Семь. В египетской и вавилонской философии и астрономии оно рассматривалось как сумма двух «жизненных» чисел: три и четыре. Три человека – отец, мать, ребёнок составляют основу жизни; а четыре – это число стран света и направлений ветра, откуда приходит дождь, живительная влага которого делает землю плодоносящей. По утверждению Пифагора, сумма чисел 3 и 4 (символизирующих собой треугольник и квадрат) считалось проявлением законченности и совершенства. Поэтому-то число 7, сумма тройки и четвёрки, воспринималось как священное.

Семь считали магическим, возможно, ещё и потому, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь «отверстий» в голове (два глаза, два уха, две ноздри, рот).

Свято почитали число и древние евреи. В Священном писании говорится: «…В шесть дней создал Господь небо и землю, море и всё, что в них, а в день седьмой почил». С тех пор евреи, а затем и все христиане, воспринявшие от них Ветхий Завет, считают 7 священным числом.

С давних пор число 7 имело разное символическое значение. Так, древние греки ежегодно выбирали 7 лучших актёров (комических и трагических), древние римляне почитали семерых мудрецов.

В христианстве говориться о семи грехах и семи таинствах. У мусульман местом «высшего просветления» считается седьмое небо, куда, якобы, попадают все угодные аллаху.

Это волшебное число широко использовалось в сказках, мифах древнего мира. У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей-плеяд, которых Зевс превратил потом в созвездия. Одиссей семь лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено семью стенами. Будда сидел под фиговым деревом с семью плодами. У индусов есть обычай дарить на счастье семь слоников. Великий пост у христиан длиться семь недель. В Библии повествуется о семи светильниках, семи ангелах, о семи годах изобилия и семи - голода.

Сказки и загадочное число семь: злодей Синяя Борода имел семь жён; семь путешествий Синбада; Белоснежка жила у семи гномов за семью горами; волк и семеро козлят; семеро из одного стручка; храбрый портняжка убил семь мух одним ударом; царевна жила в лесном тереме у семи богатырей; цветик - семицветик и др.

         Христос: 7 страстей, страстная неделя.

         У японцев: 7 добрых богов; на веку человека случается 7 удач.

         А вообще-то особой геометрической правильностью семёрка не обладает, да и очень неудобное для расчётов это число, но испокон веков почиталось оно как священное число.

        Число 8. Древние считали воплощением надежности, доведенным до совершенства. Символизировалось двойным квадратом. Разделенное пополам, оно имеет равные части. Если его еще разделить, то части тоже будут равными(2, 2, 2, 2).

        Девятка. Таинственную силу приписывали древние и числу 9, причем в одни времена добрую, в другие – злую.

У древних римлян за этим числом установилась добрая слава. Монголы считали девятку совершенством. В японо-китайском мире 9 – несчастливое число; воспринимается как «болезнь».

        Десять. Символом гармонии и полноты выступало число 10. Этим числом, выражающимся суммой 1+2+3+4, символизировался философский камень. Десяток стал основой десятичной системы счета, которую используют во всем мире.

        Одиннадцать. Наши предки относили к нехорошим числам, число 11. Как теперь установлено, изменения активности Солнца влияют на здоровье людей, а такие изменения совершаются периодически через каждые 11 лет. Но это совсем не значит, что число 11 имеет мистическое значение.

        Число 12. Очень почиталось число 12, «дюжина». 12 месяцев в году, 12 знаков Зодиака, 12 делений на циферблатах часов, сервизы на 12 персон. Число 12 замыкало свет, поэтому его считали символом полноты, богатства, счастливым числом. Число 12 имеет собственные делители 2, 3, 4, 6, что при низком уровне вычислений в древности давало большие преимущества.

        Число 13. А вот с числом 13 были одни неприятности. Оно простое и делится только на себя и единицу. Суеверия, связанные с числом 13, оказались наиболее устойчивыми и получили наибольшее распространение. Люди многих стран(Англия, Франция, Польша и др.) считают это число несчастливым, испытывают перед ним панический страх и стараются избегать его. Но интересно заметить, что у наших предков – славян не было суеверий, связанных с числом 13.

        Число 40. Оно играет в преданиях многих восточных народов особую роль. Выступая на определенной стадии предельным при счете, число 40 попадает в категорию счастливых. С числом 40 связан ряд религиозных обычаев и народных поверий.

        Число 60. Во многих вавилонских, персидских и греческих легендах синонимом самого большого представлялось 60. Это число вавилоняне считали «божьим».

        Число 1001. Это число считалось мистическим. Получается оно последовательным умножением трех простых чисел: 7, 11 и 13. А если умножить на него любое трехзначное число, то результат будет состоять из умноженного числа, записанного дважды.

        Число 666. Число 666- число зверя. В разных странах христиане обозначали этим числом неугодных церкви правителей, общественных деятелей, выдавая их за антихристов.

Число 3

В далекие времена люди с большим трудом научились считать сначала до двух и только через много – много лет начали продвигаться в счете. Каждый раз за двойкой начиналось что-то неизвестное, загадочное. Когда считали “один, два, много”, то после двух было “всё”. Поэтому число три, которое при счёте должно было идти за числом два, обозначало “всё”.

Числа – это выражение определённого количества. У всех народов существовал только ручной счет: тройку показывали тремя пальцами. А если надо было записать числа, пальцы заменялись палочками. Какое число, столько и палочек. Иногда их располагали лёжа, порой – стоя. Римские цифры, которые особенно похожи на ручной палочный счет, так и писались – стоя: I, II, III. А в нынешних цифрах, что пришли к нам от арабов, стоит, словно вытянутый палец, только единица, остальные улеглись набок. Тройка – это лежащие палочки с двумя косыми росчерками .

Писались цифры по-разному. Вот как писали цифру три:

• в Месопотамии 
• в Египте    
• в Вавилоне 
• у народов Майя 

• древние славяне для записи цифр пользовались буквами алфавита со специальными черточками наверху. Такая черточка называлась “титло” 

• арабская 3.

Цифру три можно изобразить с помощью набора пяти отрезков или четырех отрезков . Эти цифры предназначены для электронных машин и используются на почтовых конвертах.

Число три считалось в древности магическим, потому что оно складывалось из суммы двух предыдущих (3 = 2 + 1), символизировало треугольник, который представляет прошлое, настоящее и будущее. Даже в начале XX века жители некоторых островов Полинезии считали предметы так: один, два, три, много. Пифагорейцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, а нечетные – женскими. Одни числа считали счастливыми, а другие – несчастливыми, несущими зло и горе. От Пифагора и его последователей и пошли всякие суеверия, связанные с числами. Особенно много суеверий связано с числом три. Те, кто считает его счастливым, говорят: “Бог троицу любит”. Другие напротив, считают его несчастливым. Отсюда и ругательное слово “треклятый”. Число три играло важную роль в магических обрядах. Все заговоры для придания им большей силы должны были произноситься трижды. От сглаза трижды плюют через левое плечо и трижды стучат по дереву. А троекратный поцелуй по русскому обычаю? В различных поверьях и легендах сохранились триединые действия: скажем, успех достигался с третьего раза (с третьей попытки). Особенно в спорте. Три попытки попасть в кольцо, полагая, что этого достаточно.

Легенды тоже не избежали числа три. Например, сказание о том, что Земля держится на трех китах. Дух триединства проявляет себя везде и во всем. Смотрите сами:

• составляющие времени: прошлое – настоящее – будущее;
• трехмерность пространства: высота – ширина – длина;
• три ветви жизни: животные – растения – микроорганизмы;
• три исторические эпохи: современная – средние века – древний мир;
• три периода жизни человека: молодость – зрелость – старость;
• человек имеет три основные силы: мыслительную – эмоциональную – двигательную;
• человеку свойственны три проявления ума: интуиция – интеллект – инстинкт;
• продолжительность жизни на земле: мужское начало – женское начало – новая жизнь.

И, наконец, последний пример: Земля – третья по расстоянию от Солнца планета Солнечной системы. Да, магическая это цифра – три!

Число три стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках. Вот яркие примеры: камень на распутье предлагает богатырю три пути, отправляют за тридевять земель, в тридесятое государство, у отца три сына или три дочери, золотая рыбка и джинн выполняют по три желания, на третий раз обычно всё получается, «три девицы под окном…», три головы у Змея Горыныча, три стрелы Ивана-царевича в сказке «Царевна-лягушка» - всё это подтверждения моим словам. Можно вспомнить и названия сказок, фильмов, пьес. К примеру: три богатыря, три медведя, три мушкетёра, три толстяка, три танкиста, три сестры.

Как же не задуматься о таком совпадении!? То, что везде используют число три (реже – семь и одиннадцать), я заметил давно. А про простые числа (а главное про их свойства) совсем недавно. Вспомним свойства простых чисел. Они делятся только на единицу и на самих себя. Соответственно являются самыми «крепкими» числами при делении. Не зря поросята (из сказки «Три поросёнка») были чуть-чуть не съедены когда остались по одному. А «победили» волка лишь когда снова оказались вместе.

Три богатыря земли русской, трехглавый дракон, в тридевятом царстве, в тридесятом государстве. А где оно? Оказывается, рядом, потому что 3 х 9 = 27, 27 дней – это как раз лунный месяц – время обращения Луны вокруг Земли. Идем дальше: 3 х 10 = 30, а это период между двумя новолуниями. Вот вам и указание на то, где находится “Тридевятое царство, Тридесятое государство” – на расстоянии, равном месяцу пути.

Вот такой пример сказочной математики.

Едва ли не в каждой сказке появляется цифра три. Вот несколько названий:

• “Три медведя”
• “Три арбузных семечка”
• “Три калача и одна баранка”
• “Три толстяка”
• “Три ветра”
• “Три поросенка”
• “Три подземных царства”
• “Три товарища”
• “Три брата”
• “Три счастливца”
• “Три смерти”
• “Три очка за старичка”
• “Три мушкетера”
• “Три охотника”
• “Трое умельцев”
• “Три царевича”
• “Три встречи”
• “Третий глаз Шивы”
• “Три друга”
• “Три богатыря” и другие. Их много.

По мнению русских три приносит людям счастье. Любовь русских людей  к цифре три имеет дело с христианской и греческой культурой. В «Библии» много сказок о числе три: У израильтян есть трое святых предков. Иисус ожил через три дня после смерти . Троица имеет в виду триединое божество, то есть бог-отец, бог-сын, бог-дух святой. По обычаю, когда встречаются русские люди, то они целуются трижды. В русском языке во многих поговорках и пословиц употребляют цифру три.

ПОСЛОВИЦЫ И ПОГОВОРКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЧИСЛО 3.

  1. Три раза прости, а в четвёртый прихвостни.

  2. Три деньги в день, куда хочешь, туда и день.

  3. Три дни молол, а в полтора дни съел.

  4. Три попа, а заросла в церковь тропа.

  5. Три беды, семь бед, а всё помощи нет.

  6. Трёх лет Ивана по отечеству звать рано.

  7. Три дня – не три года.

  8. За учёного трёх неучёных дают, да и то не берут.

  9. Говорит три дня, а всё про злыдни.

  10. Наскочил плут на тройного плута.

  11. От горшка три вершка.

  12. Наврал с три короба.

  13. Заблудился в трех соснах.

  14. Мнится – писание лёгкое дело: пишут три перста, а болит всё тело.

  15. В августе мужику три заботы: и косить, и пахать, и сеять.

  16. Февраль три часа прибавит.

  17. Заведутся злыдни на три дня, и не изживёшь довеку.

  18. В лес идут на троих один топор берут.

  19. Не хвались замужеством третьего дня, а хвались третьего года.

  20. В нашей волости три болезни: рекрутство, подати да земщина.

  21. На то лето, не на лето, а на третий год, когда чёрт пошлёт.

ЧИСЛО 3 В РЕЛИГИИ

 Для начала обратимся к христианству. Самое известное - это Святая Троица: Бог-Отец, Бог-Сын и Святой Дух. Три волхва принесли дары родившемуся Иисусу в Назарет. Согласно Новому Завету три дня и три ночи надлежало быть Сыну Божьему в сердце земли; Иисус Христос воскрес утром на третий день; Трижды отрёкся от Иисуса апостол Пётр. Идея триединства составляет основу многих философских и религиозных учений. В Древнем Вавилоне поклонялись трем главным божествам: Солнцу, Луне, Венере. В Индии поклоняются трехглавому Тримурти. На Востоке этот принцип назывался “Сам-цей” – “Три драгоценности”. Высочайшая драгоценность внизу – это Земля, высочайшая драгоценность в середине – это Небо, высочайшая драгоценность в середине – это Человек. В славянской мифологии 3 — одна из трёх священных цифр. Обозначает: 1) количество священных цифр; 2) троичность миросозидания (трансцентдентные сущности Тригла и Триглав). Имеет своё изображение в магических и народных орнаментах.

ЧИСЛО 3 В СКАЗКАХ А. С. ПУШКИНА

Очень интересовался происхождением арабских цифр наш великий поэт и сказочник Александр Сергеевич Пушкин. Он думал, что все арабские цифры могли получиться из квадрата, пересеченного диагоналями.

А вот сделанная им запись:

ABECD – цифра 3;

AD – цифра 1;

ABDC – цифра 2;

ABD + AE – цифра 4.

В сказках Пушкина уже в зачине часто встречается цифра три. Например:

• “Негде, в тридевятом царстве, в тридесятом государстве, жил-был славный царь Дадон…”
• “Три девицы под окном пряли поздно вечерком…”
• “Жил старик со своею старухой у самого синего моря.
• Они жили в ветхой землянке ровно тридцать лет и три года…”

События в сказках складываются по тройственной схеме, с повторяющимися словесными фразами. Звучит утроенный мотив.

Например, обернувшись насекомым (мушкой, комаром, шмелём), Гвидон трижды посещает царство Салтана.

“В муху князь оборотился,
Полетел и опустился
Между моря и небес
На корабль – и в щель залез”.

На острове у него появляется три чуда: белка, царевна Лебедь и тридцать три богатыря. Балда побеждает бесёнка в трёх состязаниях: в беге, в бросании палки, в верховой езде и даёт попу три щелчка. Утроенный мотив, да и сама цифра три звучит и в сказке Ершова “Конёк-горбунок”.

“Стало в третий раз смеркаться,
Надо младшему сбираться…”
“Слушай: завтра на заре,
На широком на дворе
Должен челядь ты заставить
Три котла больших поставить…”

Широкое использование числа «3» у А.С. Пушкина в его знаменитой сказке «О попе и его работнике Балде»

С виду глупый работник Балда соглашается работать всего за 3 щелка. Жадный поп, считая себя умным и хитрым, надеется на «русское авось». Наступает уже срок расплаты, не на шутку испуганный поп хочет  «погубить Балду, отправляет его к чертям собрать «недоимки за 3 года». Чтобы показать «русское лукавство» ума Балды, Пушкин использует традиционный утроенный мотив сказок – поединок с чёртом.

Три раза Балда в море «верёвку крутил», чертям покоя не давал. Мы ощущаем, как нетерпеливее, грознее становится Балда с каждым разом: в первый раз Балда «море морщил», во второй раз «наделал такого шуму, что все море смутилось и волнами так и расходилось», а в третий «Балда над морем опять шумит да чертям верёвкой грозит».

Три раза мерился силой Балда с «посланным бесёнком».

Первые два задания придумал чертёнок:

 «кто скорее из нас обежит около моря».

 «кто далее палку бросит».

А третье задание задал сам Балда:

 «Кобылу подыми-ка ты,

  Да неси её полверсты».

Мы видим, как хитрый Балда лихо и весело побеждает чёрта.

Не зря испугались черти Балды. С таким же страхом ждёт своей расплаты поп. С каждым щелком сила растёт. Мы чувствуем юмор в слове «щелк». Не удар, а щелк. Каким же должен быть удар Балды, если щелк его такой силы. Вот тебе и «глупый» Балда. Оказался он умнее и хитрее даже попа.

                                                        С первого щелчка

                                                        Прыгнул поп до потолка;

                                                        Со второго щелчка

                                                        Лишился он языка,

                                                        А с третьего щелчка

                                                        Вышибло ум у старика.

Поэт говорит о бесшабашности русского характера. Выражая свои симпатии Балде, автор презрительно смеется над бесёнком («ножки протянул») и над попом («со страху корчится»), которые вздумали тягаться «с самим Балдой».

Загадочная семерка

Семь чудес света. Семь дней недели. Семь цветов радуги. Семь недель поста. Семь смертных грехов. Француз дает самую сильную клятву: «Крепко, как семь». Счастливый чувствует себя на седьмом небе.

Названия сказок: «Волк и семеро козлят», «Семь козьих голов».

Пословицы: «Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Семь бед – один ответ», «Семеро одного не ждут», «Семь пятниц на неделе».

Число «7» буквально пронизывает всю историю культуры народов Земли.

Зародился культ числа «7» в Древнем Вавилоне. Наблюдая небо, древние астрономы насчитывали 7 планет: Солнце, Луну, Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер, Сатурн.

И все-таки, почему 7?

Может быть, почитание семерки связано не только с обожествлением планет? Ведь еще до вавилонян, уже у людей палеолита, было какое-то особое отношение к ритму «7» в орнаментации. Причем не только в Европе, но и в Азии.

Неожиданный ответ был найден американским ученым Миллером в психологии. Он объяснил особенности семерки пропускной способностью нервной системы человека. Статистика опыта подтвердила, что самые разные испытуемые могут без ошибок сравнить в среднем только 7 раздражителей. Человек при кратковременном восприятии может мгновенно охватить не более семи сходных элементов.

7 ЧУДЕС СВЕТА

Так называют прославленные в древности сооружения и статуи. Наверное, Филон Александрийский, живший в IV веке до н. э., и не подозревал, что его имя сохранится в веках по столь забавному поводу. Он, математик, механик, геодезист, составил первый вариант «Семи чудес света». Почему он выбрал именно 7 объектов, точно историки не знают. Самое распространенное объяснение: «семерка» считалась числом магическим, которое в своих наблюдениях за окружающим миром отметили еще древние египтяне. Это и семь цветов радуги, и семь небесных тел в Солнечной системе, видимых невооруженным глазом…

В свой труд «Семь чудес света» Филон Александрийский включил: Египетские пирамиды, Висячие сады Семирамиды, Храм Артемиды Эфесской, Статую Зевса Олимпийского, Галикарнасский мавзолей, Колосс Родосский, Александрийский маяк. (Приложение IV). До нас, к сожалению, дошло лишь одно из этих прекрасных творений человеческого разума и умелых человеческих рук – пирамиды – гробницы древних египетских царей – фараонов.

От Каира, столицы  Египта, далеко на юг тянется цепь остроконечных искусственных гор белого желтоватого цветов. Это пирамиды. Самая большая их них – пирамида фараона Хеопса – высотой около 147 м, построена в начале 27 в. до н.э. Лишь на 2 м ниже пирамида Хефрена. Этому фараону показалась недостаточной гробница величиной с гору, и он приказал поставить рядом с ней каменного стража, вытесанного из целой скалы. У стража лицо человека и туловище льва. Называется он Сфинксом. Образ Сфинкса, мудрого, как человек, и сильного, как лев, внушал суеверный ужас, и люди называли его отцом трепета.

Другое «чудо света» - висячие сады Семирамиды – находилось в самом большом и богатом городе Древнего Востока – Вавилоне. Они были созданы по приказу царя Навуходоносора ІІ в 6 в. до н.э. для своей жены – царицы Семирамиды. Навуходоносор построил свой дворец на искусственно созданной площадке, поднятой на высоту шестиэтажного дома. К площадке уступами поднимались шесть рядов кирпичных арок – шесть аркад. На каждом уступе был насыпан слой земли и разведён цветущий сад. День и ночь сотни рабов вращали колоссальные колёса с кожаными вёдрами, подавая в висячие сады воду Евфрата.

Храм греческой богини Артемиды в городе Эфесе, в Малой Азии, считался третьим «чудом света». Храм представлял собой прямоугольное здание из камня и дерева, обнесённое со всех сторон двойной колоннадой из 127 колон. В 356 г. до н.э. некто Герострат, желая прославиться, пожёг храм. Его имя навеки стало символом бессмысленного варварства.

В северо-западной части Греции, в городе Олимпии, на родине Олимпийских игр, в 456г. до н.э. появился храм, посвящённый Зевсу – верховному богу древних греков. Храм украшала статуя бога, изваянная великим скульптором Фидием. Это четвёртое «чудо». Двенадцатиметровый Зевс восседал на троне из золота, слоновой кости, чёрного дерева и драгоценных камней. Голову его украшал золотой венок из оливковых ветвей – знак миролюбия грозного бога. Голова, плечи, руки, грудь были выточены из слоновой кости. Плащ, перекинутый через левое плечо, волосы и борода Зевса были изваяны из золота. Фидий наделил Зевса человеческим благородством. Его лицо, обрамлённое бородой и вьющимися волосами, было не только строгим, но и добрым. Казалось, что Зевс вот-вот улыбнётся, поднимется с трона и расправит могучие плечи.

В Малой Азии, в столице небольшого Карийского царства – Галикарнасе (ныне город Бодрум в Турции) находилось пятое «чудо» - великолепная гробница, построенная для царя Мавсола его вдовой – царицей Артемисией в середине 4 в. до н.э. Это было величественное сооружение из кирпича, облицованное изнутри и снаружи белым мрамо-

ром, высотой 60 м. Первый этаж, где покоилась урна с прахом, имел вид громадного куба. Второй этаж был обнесён снаружи мраморной колоннадой, а третий представлял собой многоступенчатую пирамиду. Её венчала четвёрка коней с колесницей, которой правили Мавсол и Артемисия (статуи Мавсола и Артемисии, а также другие украшения мавзолея хранятся сейчас в Британском музее в Лондоне). От имени Мавсола и произошло слово «мавзолей».

В 3 в. до н.э. на остров Родос напали войска правителя Передней Азии и Сирии Деметрия Полиоркета. Однако одолеть свободолюбивых родосцев Деметрию не удалось. В память об успешной обороне острова они решили поставить самую большую статую на свете. Это шестое «чудо», известное по именем Колосса Родосского.. Это было изображение бога солнца Гелиоса, которого жители острова считали своим покровителей.

На острове Фарос в устье реки Нила, рядом с городом Александрией, около 280 г. до н.э. был построен самый большой маяк древности. Высота этой трёхъярусной башни достигала 135 м. На её вершине в открытой каменной беседке пылал костёр, указывая путь кораблям.

7 В РУССКОМ ЯЗЫКЕ

 

    Русские люди особенно любят семь. Они считают, что семь является союзом бога с человеком. В романе «Пиковая дама» семёрка всегда приносит Герману счастье. Даже теперь в России семь считается добрым. Говорят, что если человек живёт в седьмой комнате на седьмом этаже, то он будет счастлив.

    Почему русские смотрят на семь с большой любовью? По-моему, это в основном имеет дело с христианством. Все знают, что христианская культура оказала огромное влияние на российскую нацию. Говорят, что небо состоит  из семи ярусов, которые заключают в себе чистое серебро, чистое золото, жемчужину, платину, серебро, рубин, святой луч. В древности через наблюдение и измерение люди знали только семь планет – Солнце, Луна, Венера, Юпитер, Меркурий, Марс, Сатурн и люди связывали их с богом. Поэтому семь придали святые смыслы. В « Библии » Бог создавал мир шесть дней, и на седьмой день отдыхал. Иисус сказал семь слов на кресте. Число семь с древнейших времен играло важную роль, считалось волшебным, таинственным у самых разных народов мира. 
      Индийская философия древности учила, например, что Вселенная состоит из семи элементов. Древние египтяне полагали, что солнце и все небесные светила поднимаются по семи лестницам и проходят семь ворот. Знаменитый философ Древней Греции Аристотель утверждал, что небесная твердь состоит из семи кристальных сфер. Самая главная, высшая, седьмая сфера получила название "Седьмое небо". Кстати, именно отсюда идет современное шутливое выражение быть на седьмом небе (от счастья), то есть "находиться на верху блаженства".
      Число семь вошло в легенду о сотворении мира в течение семи дней. Древние говорили о семи чудесах света. Рим был основан на семи холмах. К библейским источникам восходят общеизвестные выражения "книга за семью печатями" - о чем-то непонятном, неясном никому, "семь смертных грехов" и некоторые другие.

      Рассказывая о мистическом числе семь (древнерусское седмь) в старинных народных поверьях и в схоластических церковных догматах, С. В. Максимов в книге "Крылатые слова" напоминает известный исторический факт: "Когда Галилей после открытия четырех спутников Юпитера по целым ночам любовался системой этой планеты, противники его не только не верили открытиям, но и утверждали, что они невозможны. Ученое невежество говорило: "Как в неделе семь дней, так и на небе семь планет (Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн) и больше быть не может. Соединение малого мира человека с безграничным миром Вселенной происходит при помощи наших органов чувств, расположенных в семи отверстиях головы: два глаза, два уха, две ноздри и рот. Как нет более таких отверстий в голове, точно так не может быть и на небе более семи планет". Так утверждали семь кардиналов инквизиции, осудившие Галилея на заточение в 1633 году. По этому поводу писатель добавляет не без иронии: "Впоследствии оказалось, что у семи нянек дитя всегда без глазу, как и у этих семи совершенно слепых мудрецов мировая истина". 
      Если мы обратимся к сказкам и песням русского и других народов, то мы найдем в них и огнедышащего змея о семи головах (семиголовую гидру), и семимильные сапоги-скороходы, и сказочного храбреца, который "одним махом семерых побивахом", и такие выражения, как "у семи царей по семи дочерей", и шуточное "было у тещеньки семеро зятьев". 
      С числом семь мы встречаемся и теперь. Но уже не считаем его таким таинственным и мистическим, каким оно было в представлении наших далеких предков. Известные объективные явления природы лежат в основе того, что, скажем, спектр состоит из семи основных цветов, а в музыке выделяются семь тонов (нот) звукоряда. Математики давно обратили внимание на то, что 7 - это самое большое простое число в первом десятке. Это математическое объяснение проливает свет на древнее обожествление числа семь - самого большого из простых однозначных. Именно с величиной, размером связаны по смыслу многие старинные русские пословицы и поговорки, в которые входит число семью.

7 В ПОСЛОВИЦАХ И ПОГОВОРКАХ

        

1. Семеро не один, в обиду не дадим.

  2. Семеро одного не ждут.

  3. Семеро одну соломинку подымают.

  4. Семь раз по - твоему, да хоть раз по моему.

  5. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

  6. Семь лет не виделись, а сошлись и говорить нечего.

  7. Старик – да лучше семерых молодых.

  8. Семь бед – один ответ.

  9. Семь деревень, а лошадка одна.

  10. У пьяного – семь клетей, а проспится – один плетень.

  11. В гору семеро тащат, а с горы и один столкнёт.

  12. Невелик городок, да семь воевод.

  13. У одной овечки да семь пастухов.

  14. В семи дорогах один топор.

  15. Из поповского рукава семеро штанов выходит.

  16. На поминки идёт, пузо из семи овчин шьёт.

  17. Попадья лукавая – змея семиглавая.

  18. За семь вёрст да киселя хлебать.

  19. Ковры семи шелков, а рубаха и не прядена.

  20. Всем по семь, а мне по восемь.

  21. От семи собак на распутье огрызается.

22. Беда! До беды семь лет: либо будет, либо нет.

Число p

                                       Первое знакомство с числом p

В школьном курсе математики с числом p мы впервые встречаемся в 6 классе в теме: «Длина окружности и площадь круга». В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой p («читается «пи»»). Длина окружности: C=2pr; площадь круга S=pr2 ».                                                                                        

Потом, только в 9 классе мы опять встречаемся с числом p, но уже в курсе геометрии пытаются доказать длину окружности следующим образом. «Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности

                                                  Возникновение числа p

Более двух тысячелетий назад было подмечено, что все окружности длиннее своих диаметров в одно и то же число раз. Впоследствии это было доказано.

Отношение длины окружности к её диаметру лет 250 назад стали обозначать кратко одной буквой  p. Эта греческая буква – первая буква греческого слова «периферия», что означает «окружность». В древнем Вавилоне считали, что окружность длиннее её диаметра в три раза (т.е. p приблизительно равно трём). Но древнегреческие геометры уже знали, что p не равно трём. Об этом мы знаем из школьного курса геометрии. Почему же тогда Бертран Рассел в своей книге «Кошмары выдающихся личностей» писал: «лицо p было скрыто маской. Все понимали, что сорвать её, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза …».

Английский математик Август де Морган назвал как-то p «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Число p связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.  

Записи числа p

2 знака после запятой:

                                          p =3,14

510 знаков после запятой:

p =3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 192 169 399 375 105 280 974  592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233….

                                             

                                      Мнемоническое правило

• Чтобы нам не ошибаться,
• Надо правило прочесть:
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девяносто два и шесть.
• Надо только постараться
• И запомнить все как есть:
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девяносто два и шесть.
• Три, четырнадцать, пятнадцать,
• Девять, два, шесть, пять, три, пять.
• Чтоб наукой заниматься
• Это каждый должен знать.

Если подсчитать количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и записать эти цифры подряд, не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3». Получится приближенное число p

                                                   

Забавные факты

 

Международный день числа p 14 марта человечество отмечает Международный день числа p. Почему 14 марта? Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа p – 3,1415926…

Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности Альбертом Эйнштейном.

Еще одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которою называют  «Днем приближенного числа p», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7. а значение этой дроби является приближенным значением числа p

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа пи принадлежит японцу Акира Харагути. Он запомнил число p до 100- тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.

В штате Индиана (США) в 1897 был выпушен билль, законодательно устанавливающий значение числа p равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятого данного закона.